文章探讨了锁相环路在捕获时间与初始频差的关系，提出在锁相环前使用锁频环路来减小载波频偏。通过最大似然估计方法，从IQ正交信号中估计频差和相偏，建立概率密度函数模型，并求解其梯度为零的解，从而进行频偏和相偏的估计。
零、引言
锁相环路捕获时间直接与初始频差相关，初始频差越大，捕获时间越长。另一方面，锁相环的捕获带宽较小。因此，十分有必要在锁相环路前加一级锁频环路，将载波频偏控制在一较小范围内，便于锁相环的快速捕获。
一、最大似然频偏估计
设接收信号
r
(
t
)
=
sin
(
w
i
t
+
θ
i
)
+
n
(
t
)
{\rm{r}}(t) = \sin ({w_i}t + {\theta _i}) + n(t)
r(t)=sin(wit+θi)+n(t)
在突发通信中，用于频偏估计的信号一般是导频信号。
设本地信号为：
v
o
q
(
t
)
=
cos
(
w
0
t
+
θ
0
)
{v_{oq}}(t) = \cos ({w_0}t + {\theta _0})
voq(t)=cos(w0t+θ0)
v
o
i
(
t
)
=
sin
(
w
0
t
+
θ
0
)
{v_{oi}}(t) = \sin ({w_0}t + {\theta _0})
voi(t)=sin(w0t+θ0)
相乘滤除倍频分量后得到含有载波频偏和相偏的IQ两路正交信号
I
(
t
)
=
cos
(
Δ
w
t
+
θ
)
+
n
i
(
t
)
I(t) = \cos (\Delta w{\rm{t}} + \theta ) + {n_i}(t)
I(t)=cos(Δwt+θ)+ni(t)
Q
(
t
)
=
sin
(
Δ
w
t
+
θ
)
+
n
i
(
t
)
Q(t) = \sin (\Delta w{\rm{t}} + \theta ) + {n_i}(t)
Q(t)=sin(Δwt+θ)+ni(t)
其中，
Δ
w
=
w
i
−
w
o
\Delta w = {w_i} - {w_o}
Δw=wi−wo,
θ
=
θ
i
−
θ
o
\theta = {\theta _i} - {\theta _o}
θ=θi−θo
那么可获得离散相位信息
x
~
k
=
arctan
(
Q
/
I
)
{\tilde x_k} = \arctan (Q/I)
x~k=arctan(Q/I)
那么连续相位信息
x
k
=
x
k
−
1
+
(
x
~
k
−
x
~
k
−
1
)
{x_{\rm{k}}} = {x_{k - 1}} + ({\tilde x_{\rm{k}}} - {\tilde x_{k - 1}})
xk=xk−1+(x~k−x~k−1) ----1式
现在再捋一下我们要干什么，我们是要得到频差信息，即
Δ
w
\Delta w
Δw,我们现在有了xk,
而
x
k
=
2
π
k
T
s
Δ
f
+
θ
+
v
k
{x_k} = 2\pi k{T_s}\Delta f + \theta + {v_k}
xk=2πkTsΔf+θ+vk
现在问题模型就是已知xk，估计
Δ
w
\Delta w
Δw（
Δ
f
\Delta f
Δf)和
θ
\theta
θ
将1式写成向量形式
X
=
Δ
f
a
+
θ
b
+
V
X = \Delta fa + \theta b + V
X=Δfa+θb+V
X是服从高斯分布的随即向量
f
x
(
X
)
=
1
2
π
σ
N
e
−
1
2
σ
2
∣
∣
X
−
Δ
f
a
−
θ
∣
∣
2
{f_{\rm{x}}}({\bf{X}}) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi {\sigma ^N}} }}{{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{2{\sigma ^2}}}}}||{\bf{X}} - \Delta fa - \theta |{|^2}
fx(X)=2πσN1e−2σ21∣∣X−Δfa−θ∣∣2
对于剩余频差
Δ
f
\Delta f
Δf和剩余相差
θ
\theta
θ的最大似然估计
Δ
f
^
(
X
)
\Delta \hat f({\bf{X}})
Δf^(X)和
θ
^
(
X
)
\hat \theta ({\bf{X}})
θ^(X)的估计是使关于
Δ
f
\Delta f
Δf和
θ
\theta
θ的对数概率密度的梯度
∇
Δ
f
,
θ
log
f
x
(
X
)
{\nabla _{\Delta f,\theta }}\log {f_{\rm{x}}}({\bf{X}})
∇Δf,θlogfx(X)为零的解
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